สรุปความเข้าใจเรื่องสูตรการหาพื้นที่ในข้อสอบ SAT Math คำนวณเป๊ะ คะแนนปัง

หลังจากที่พี่กริฟฟินได้พาน้อง ๆ ไปเจาะลึกกับข้อสอบ SAT Math ในหัวข้อ Heart of Algebra หรือข้อสอบพีชคณิตไปแบบเจาะลึกทั้งในเรื่องของ สมการเชิงเส้น, ฟังก์ชันเชิงเส้น และ อสมการเชิงเส้น รวมถึงอธิบายเกี่ยวกับเรื่อง ระบบจำนวนจริง ในข้อสอบ Advanced Math กันไปแล้ว คราวนี้ก็ถึงคิวของหัวข้อของเรขาคณิตและตรีโกณมิติ หรือ Geometry and Trigonometry บ้างแล้ว

ข้อสอบ SAT Math เรื่องเรขาคณิตและตรีโกณมิติ (Geometry and Trigonometry) ออกสอบอะไรบ้าง ?

สำหรับข้อสอบ SAT Math ในหัวข้อเรขาคณิตและตรีโกณมิติ หรือ Geometry and Trigonometry ก็จะเป็นข้อสอบที่เน้นวัดความสามารถในการหาพื้นที่, ปริมาตร, จุดศูนย์กลาง, รัศมี และมุมต่าง ๆ โดยจะมีข้อสอบอยู่ที่ราว 15% หรือเฉลี่ยอยู่ที่ราว 5 – 7 ข้อจากข้อสอบทั้งหมด โดยหัวข้อที่จะมาเจาะลึกกันในบทความนี้ก็จะเป็นเรื่องของการหาพื้นที่รูปเรขาคณิตต่าง ๆ นั่นเอง

การหาพื้นที่สามเหลี่ยมและทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เริ่มกันที่สามเหลี่ยม (Triangle) ในข้อสอบ SAT Math ก็จะเน้นใช้สูตรพื้นฐานของการหาพื้นที่สามเหลี่ยม และทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagoras theorem) หรือทฤษฎีหรือสมบัติที่เกี่ยวกับความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สามารถนำเอาสูตรนี้ไปใช้แก้โจทย์ปัญหาหรือพิสูจน์ทฤษฎีหรือสมบัติอื่น ๆ ในบทที่เกี่ยวกับเรขาคณิตได้ โดยมีสูตรดังนี้

สูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยม = ½ x ฐาน x สูง 

สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส C² = a² + b²

นอกจากนี้ ยังมีการระบุค่าของสามเหลี่ยมพิเศษ (Special Right Triangle) ที่มุมภายในของสามเหลี่ยมมีขนาด 30-60-90 และ 45-45-90 เอาไว้เพื่อให้สามารถนำเอาตัวเลขที่โจทย์ระบุมาแทนค่าเพื่อหาพื้นที่ได้ในทันที (ใช้สูตรเดียวกับพื้นที่สามเหลี่ยมทั่วไป แต่มีค่ากำหนดเอาไว้ชัดเจน ทำให้สามารถคำนวณได้ไวขึ้น)

ข้อควรรู้อื่น ๆ เพิ่มเติมเกี่ยวกับสามเหลี่ยม

• เส้นรอบรูปสามเหลี่ยม สามารถหาได้โดยการนำเอาความยาวของแต่ละด้านมาบวกกัน (ด้าน + ด้าน + ด้าน)
• มุมภายในสามเหลี่ยมเมื่อบวกกันแล้วจะมีค่าเท่ากับ 180 องศาเสมอ

การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมและปริมาตรปริซึมฐานสี่เหลี่ยม

ในส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมก็จะมีสูตรจำเพาะของสี่เหลี่ยมแต่ละรูปแบบที่ต่างกันออกไป ทั้ง สี่เหลี่ยมจตุรัส, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, สี่เหลี่ยมคางหมู, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมรูปว่าว และสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า แต่สำหรับในข้อสอบ SAT Math ส่วนมากจะเน้นไปที่การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (Rectangle) และการหาปริมาตรของปริซึมฐานสี่เหลี่ยม (Rectangular Prism) เป็นหลัก ดังนั้นแล้วสูตรที่จะพบเห็นได้บ่อยก็จะมีอยู่ทั้งหมด 2 สูตร ได้แก่

1. สูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
2. สูตรการหาปริมาตรของปริซึมฐานสี่เหลี่ยม = กว้าง x ยาว x สูง

ส่วนการหาปริมาตรพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จะใช้สูตร  ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูง 

และพื้นที่ผิวพีระมิดทั้งหมดจะมีค่าเท่ากับพื้นที่ฐานสี่เหลี่ยม + พื้นที่ผิวด้านข้าง ซึ่งสามารถหาพื้นที่ผิวข้างด้วยสูตรการคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมทั่วไป ( ½ x ฐาน x สูง ) จากนั้นนำมาคูณจำนวนหน้าของพีรามิด (คูณ 4) เมื่อได้พื้นที่ของจำนวนหน้าพีรามิดทั้งหมดแล้ว ก็นำมาบวกกับพื้นที่ฐานสี่เหลี่ยม (กว้าง x ยาว) ก็จะได้ค่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีรามิด

ข้อควรรู้อื่น ๆ เพิ่มเติมเกี่ยวกับสี่เหลี่ยม

• มุมภายในของสี่เหลี่ยมจะมีค่าเท่ากับ 360 องศาเสมอ
• เส้นรอบรูปสี่เหลี่ยม สามารถหาได้โดยการนำเอาความยาวของแต่ละด้านมาบวกกัน (ด้าน + ด้าน + ด้าน + ด้าน)

การหาพื้นที่เส้นรอบวงกลม และการหาปริมาตรของทรงกลม ทรงกระบอก และรูปทรงกรวย

อีกสูตรที่สำคัญและควรทราบเกี่ยวกับการทำข้อสอบ SAT Math ในหัวข้อเรขาคณิตที่ขาดไปไม่ได้เลยก็ได้แก่ การคำนวณพื้นที่และปริมาตรต่าง ๆ ของรูปทรงที่เกี่ยวกับ “วงกลม” (Circle) นั่นเอง โดยจะมีสูตรการหาค่าต่าง ๆ ดังนี้

สูตรการหาเส้นรอบวง C=2πr

สูตรคำนวณพื้นที่วงกลม A= \(\pi r^{2}\)

สูตรการหาปริมาตรทรงกลม V= ⁴⁄₃πr³

สูตรการหาปริมาตรทรงกระบอก  V= πr²h

สูตรการหาปริมาตรรูปทรงกรวย V= ⅓πr²h

โดยที่ r = รัศมี และค่า π = ²²⁄₇  หรือ 3.142….

ข้อควรรู้อื่น ๆ เพิ่มเติมเกี่ยวกับวงกลม

• มุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีค่าอยู่ที่ 360 องศา
• รัศมีของวงกลมมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

ข้อควรรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อสอบ SAT Math ในหัวข้อเรขาคณิต

1. ไม่จำเป็นต้อง “ท่องจำ” สูตรเพื่อเตรียมตัวสอบ เนื่องจากในข้อสอบ SAT Math จะมี Formula Sheet หรือชีทสูตรทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่จำเป็นสำหรับการใช้สอบแนบไปกับตัวข้อสอบเสมอ แต่ก็ควรที่จะทราบสูตรและค่าต่าง ๆ ภายในสูตรเอาไว้เบื้องต้น เพื่อที่เวลาเปิดดูสูตรระหว่างสอบแล้วจะได้ไม่งงและสามารถกดเครื่องคิดเลขเพื่อคำนวณโจทย์ได้ไวขึ้น 
2. รูปทรงเรขาคณิตหนึ่งสามารถลากเส้นเพื่อประกอบเป็นรูปทรงอื่นได้ เช่น สี่เหลี่ยม เมื่อขีดเส้นแนวทแยงแบ่งครึ่งก็จะประกอบไปด้วยรูปสามเหลี่ยม 2 รูปชนกัน หรือวงกลม เมื่อลากเส้นภายในรูปก็จะปรากฏเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านใน เป็นต้น ดังนั้นโจทย์บางข้ออาจมีการระบุค่าของส่วนใดส่วนหนึ่งที่เป็นส่วนประกอบ และให้หาค่าของรูปทรงที่ระบุก็ไม่ต้องตกใจไป หากลองวาดรูปลงบนกระดาษทดแล้วเขียนค่าต่าง ๆ ที่โจทย์กำหนดมาให้ก็จะทำให้เห็นภาพง่ายขึ้น และสามารถหยิบเอาสูตรการคำนวณพื้นที่หรือปริมาตรมาประยุกต์ใช้งานได้

ตัวอย่างข้อสอบ SAT Math เรื่องการหาพื้นที่รูปเรขาคณิต

ตัวอย่างที่ 1 : A right circular cylinder has a base diameter of 22 centimeters and a height of 6 centimeters. What is the volume, in cubic centimeters, of the cylinder?

1. 132π
2. 264π
3. 726π
4. 2,904π

ข้อนี้ตอบ C เนื่องจากปริมาตรของทรงกระบอกจะสามารถหาได้จากสูตร V= πr²h ซึ่งโจทย์ระบุว่าทรงกระบอกสูง 6 เซนติเมตร และมีเส้นผ่านศูนย์กลางฐานที่ 22 เซนติเมตร ซึ่งรัศมีของวงกลมมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อหาร 22 ด้วย 2 แล้วก็จะมีค่าเท่ากับ 11 และนำเอาค่าที่ได้ไปแทนในสูตรการหาปริมาตร ก็จะได้ว่า =π11²(6) หรือ (121)(6) เมื่อคำนวณออกมาแล้วจะได้เท่ากับ 726π

ตัวอย่างที่ 2 : Points Q and R lie on a circle with center P. The radius of this circle is 9 inches. Triangle PQR has a perimeter of 31 inches. What is the length, in inches, of QR?

1. 13√2
2. 13
3. 9√2
4. 9

ข้อนี้ตอบ B เนื่องจากโจทย์ระบุว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี 9 นิ้ว โดยมีจุด Q และ R อยู่ภายในวงกลมและประกอบขึ้นเป็นรูปสามเหลี่ยม จึงสรุปได้ว่าเส้น PQ และ RP ของสามเหลี่ยม PQR มีความยาว 9 นิ้ว กำหนดให้ความยาวของ QR เท่ากับ x นิ้ว ก็จะสามารถเขียนสมการออกมาได้ว่าเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม PQR คือ 9 + 9 + x และโจทย์กำหนดให้เส้นรอบรูปสามเหลี่ยม PQR มีค่าเท่ากับ 31 นิ้ว จึงสรุปได้ว่า 9 + 9 + x = 31 หรือ 18 + x = 31 และเมื่อย้ายข้างสมการก็จะได้ว่า x = 31-18 หรือ x = 13 นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 3 : A circle has a radius of 2.1 inches. The area of the circle is bπ square inches, where b is a constant. What is the value of b ?

ข้อนี้ตอบ 4.41 เนื่องจากพื้นที่วงกลม A สามารถหาได้จากสูตร A=πr² และเมื่อรัศมีของวงกลมมีค่าเท่ากับ 2.1 นิ้ว ซึ่งเมื่อพื้นที่ของวงกลมมีค่าเท่ากับ b ตารางนิ้วก็สามารถแทนค่าลงในสูตรได้ว่า bπ =πr² หรือ bπ =π(2.1)² และทำการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย π ก็จะได้ว่า b = (2.1)²  หรือ b = 4.41

ตัวอย่างที่ 4 : Rectangles ABCD and EFGH are similar. The length of each side of EFGH is 6 times the length of the corresponding side of ABCD. The area of ABCD is 54 square units. What is the area, in square units, of EFGH?

1. A) 9
2. B) 36
3. C) 324
4. D) 1,944 

ข้อนี้ตอบ D เนื่องจากพื้นที่สี่เหลี่ยมสามารถหาได้จากสูตร กว้าง x ยาว หรือ bh ดังนั้นหากแทนค่าความกว้างของรูปด้วย x และความสูงของรูปด้วย y ก็จะได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD มีค่าเป็น xy ซึ่งโจทย์ระบุให้มีค่าเท่ากับ 54 และสี่เหลี่ยม EFGH มีความยาวแต่ละด้านมากกว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็น 6 เท่า จึงสามารถเขียนสมการออกมาได้ว่าสี่เหลี่ยม EFGH มีพื้นที่เท่ากับ 6x(6y) หรือ 36xy และเมื่อ xy มีค่าเท่ากับ 54 ก็สามารถแทนค่าลงในสมการได้ว่า (36)(54) จึงทำให้สี่เหลี่ยม EFGH มีพื้นที่เท่ากับ 1,944 ตารางหน่วยนั่นเอง

ลองฝึกทำข้อสอบ SAT Math พร้อมคำอธิบายแต่ละข้อเพิ่มเติมได้ ที่นี่

เช็กความพร้อมก่อนลงสอบจริง ติวสอบ SAT Math ที่ House of Griffin

มาถึงตรงนี้ พี่กริฟฟินก็เชื่อว่าน้อง ๆ น่าจะเห็นภาพแนวทางของข้อสอบ SAT Math ในหัวข้อ Geometry and Trigonometry หรือเรขาคณิตและตรีโกณมิติในส่วนที่เจาะลึกเกี่ยวกับการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตกันมากขึ้นแล้ว แต่นอกเหนือไปจากข้อสอบในหัวข้อนี้ SAT MATH ก็ยังมีหัวข้อออกสอบสำคัญอีก 3 หัวข้อ นั่นก็คือ Heart of Algebra (พีชคณิต), Advanced Math (คณิตศาสตร์ขั้นสูง) และ Problem Solving and Data Analysis (การแก้ปัญหาและวิเคราะห์ข้อมูล) ที่จะออกสอบพร้อมกันด้วย 

ดังนั้นอย่าลืมแบ่งเวลาในการอ่านและฝึกทำข้อสอบทุกหัวข้ออย่างครบถ้วน เพื่อที่จะได้เก็บคะแนนครบทุกส่วนและสามารถนำเอาคะแนนไปยื่นเรียนต่อได้ตั้งแต่สอบครั้งแรก สำหรับใครที่ยังเป็นกังวลเกี่ยวกับการเตรียมตัวสอบ SAT ก็สามารถทักมาปรึกษาทีมงาน House of Griffin เรื่องคอร์สติว SAT กันได้แบบเจาะลึกทุกแง่มุมทั้ง SAT Verbal และ SAT Math หรือหากใครอยากเจาะลึกเฉพาะข้อสอบ SAT Math พร้อมตะลุยโจทย์กับคลังข้อสอบเก่าแบบเข้มข้นก็มีคอร์ส SAT Math Fast Track ติวโค้งสุดท้ายก่อนลงสนามจริงให้เลือกเรียนเพื่อเสริมคะแนนคณิตศาสตร์แบบพุ่งกระฉูดทะลุ 650 คะแนน (จากคะแนนเต็ม 800 คะแนน)