หลังจากที่พี่กริฟฟินพาเจาะลึกกับข้อสอบ SAT Math ในส่วนของ “พีชคณิต” กันแบบเจาะลึกทั้งใน Part 1 : สมการเชิงเส้น, Part 2 : ฟังก์ชันเชิงเส้น และ Part 3 : อสมการเชิงเส้น กันไปแบบครบถ้วนแล้ว วันนี้ก็จะพาน้อง ๆ มาดูสรุปเนื้อหาในหัวข้อ “ระบบจำนวนจริง” หรือ Number System ที่เป็นรากฐานสำคัญของการทำข้อสอบ SAT Math ในทุก ๆ หัวข้อ ทั้งในส่วนของพีชคณิต (Algebra), Advanced Math, การวิเคราะห์ข้อมูลและแก้โจทย์ปัญหา (Problem-Solving and Data Analysis) รวมทั้งเรขาคณิตและตรีโกณมิติ (Geometry and Trigonometry)
ระบบจำนวนจริงกับพหุนาม
ระบบจำนวนจริงและพหุนามคือองค์ประกอบพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ โดยที่ระบบจำนวนจริง คือ ระบบตัวเลขตามหลักคณิตศาสตร์ที่ประกอบไปด้วยจำนวนตรรกยะ (Rational Numbers) และจำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) ที่สามารถแสดงบนเส้นจำนวนได้ ส่วนพหุนาม หรือ Polynomial คือ การรวมกันของตัวแปร ค่าคงที่ และเลขชี้กำลังที่ไม่ติดลบ โดยปกติแล้วจะอยู่ในรูป
$$
p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots a_1x + a_0
$$
เมื่อ $ a_n, a_{n-1}, a_{n-2}…, a_1, a_0 $ (สัมประสิทธิ์ของพหุนาม) เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นค่าคงตัว
x เป็นตัวแปรไม่ทราบค่า โดยที่ n เป็นดีกรีของพหุนามที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนลบและ $ a_n $ เป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์แรก
การดำเนินการของพหุนาม
พหุนามจะมีการดำเนินการพื้นฐาน คือ บวก ลบ คูณ และหาร สามารถทำได้โดยการดำเนินการกับพจน์ที่คล้ายกัน เช่น พจน์ที่มีตัวแปรและกำลังเท่ากัน ดังนี้
การบวกพหุนาม
นำพหุนามมาบวกกันโดยรวมสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น
(x² + 3x + 6) + (4x² + 5x + 1)
= (x²+4x²) + (3x+5x) + (6+1)
= 5x² + 8x + 7
การลบพหุนาม
สำหรับการลบจะใช้หลัก a – b = a +(-b) หรือการเปลี่ยนเครื่องหมายลบของตัวลบให้เป็นเครื่องหมายบวก แล้วจัดพหุนามทั้งหมดให้เป็นพหุนามเป็นรูปผลสำเร็จ ตัวอย่างเช่น
(3x² – 7x – 4) – (2x² – 3x + 1)
= (3x² – 7x – 4) + (-2x² + 3x + 1)
= (3x² – 2x²) + (-7x+3x) + (-4 + 1)
= x² + 4x – 3
การคูณพหุนาม
ใช้สมบัติการแจกแจงในการคูณ โดยนำเอาแต่ละพจน์ในพหุนามแรกไปคูณกับทุกพจน์ของพหุนามที่สอง แล้วนำผลคูณมาบวกกัน ตัวอย่างเช่น
(x + 2)(x + 3)
= x(x + 3) + 2 (x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
การหารพหุนาม
สามารถทำได้หลายวิธี ได้แก่ การแยกตัวประกอบ, การหารสังเคราะห์, การหารยาว และการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยหากพหุนามเป็นค่ายกกำลังสอง จะเขียนรูปแบบสมการออกมาได้ว่า ax²+bx-c = 0 เมื่อ a ≠ 0 จะเขียนอยู่ในรูป
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $$
โดยที่ $ b^2 $ -4ac > 0 จะมีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการนี้ 2 คำตอบ
$ b^2 $ -4ac = 0 จะมีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการนี้ 1 คำตอบ
$ b^2 $ -4ac < 0 ไม่มีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ
ทั้งนี้ สำหรับการทำข้อสอบ SAT Math น้อง ๆ สามารถใช้เครื่องคิดเลขในระบบเพื่อคิดคำตอบได้เลยเพื่อประหยัดเวลาในการคำนวณได้เลย
ระบบจำนวนจริงในข้อสอบ SAT Math
อย่างที่กล่าวไปข้างต้นว่าเราจะพบระบบจำนวนจริง (Number System) ได้ในข้อสอบ SAT Math ทุกหัวข้อ โดยเฉพาะในหัวข้อพีชคณิต (Algebra) เกี่ยวกับ สมการเชิงเส้น และอสมการเชิงเส้น ส่วนในหัวข้อ Advanced Math ก็มักจะพบในหัวข้อสมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการ 2 ตัวแปร ดังนี้
ตัวอย่างโจทย์ Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables (สมการไม่เชิงเส้นหนึ่งตัวแปรและระบบสมการ 2 ตัวแปร)
1. (x − 1)² = −4
How many distinct real solutions does the given equation have?
- A) Exactly one
- B) Exactly two
- C) Infinitely many
- D) Zero
ข้อนี้ตอบ D เพราะจำนวนใด ๆ ที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ เมื่อยกกำลังสองจะมีค่าเป็นบวกเสมอ แต่เนื่องจากสมการด้านซ้ายติดลบ จึงไม่มีค่า x ใดที่ทำให้สมการเป็นจริงได้ ดังนั้นจำนวนจริงของสมการในข้อนี้จึงมีค่าเป็น 0 นั่นเอง
2. In the xy-plane, a line with equation 2y = 4.5 intersects a parabola at exactly one point. If the parabola has equation y = −4×2 + bx, where b is a positive constant, what is the value of b?
ข้อนี้ตอบ 6 เนื่องจากกำหนดให้เส้นตรงที่มีสมการ 2y = 4.5 เป็นจุดตัดกับพาราโบลาที่มีสมการ y = -4x² + bx โดยที่ b เป็นค่าคงที่ที่มีค่าเป็นบวกเพียงจุดเดียวบนระนาบ xy ดังนั้นระบบของสมการที่ประกอบด้วย 2y = 4.5 และ y = −4x² + bx จะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว
เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการเส้นตรงด้วย 2 จะได้ว่า y = 2.25 จากนั้นแทนค่า y ด้วย 2.25 ในสมการพาราโบลา จะได้ว่า 2.25 = −4x² + bx จากนั้นบวกด้วย 4x² และลบ bx ออกจากทั้งสองข้างของสมการก็จะได้ 4x² – bx + 2.25 = 0 โดยยึดจากสมการกำลังสองในรูป ax² + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่
เมื่อย้ายข้างของสมการเป็น b² − 4ac มีค่าเท่ากับศูนย์ (0) จากนั้นแทนค่า a ด้วย 4 และแทนค่า c ด้วย 2.25 ในสมการ b² − 4ac จะได้ว่า b² − 4(4)(2.25) = 0 หรือ b² − 36 = 0 จากนั้นบวก 36 เข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการก็จะได้ค่า b² = 36
จากนั้นหาค่ารากที่สองของสมการก็จะได้ว่า b = ±6 แต่เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า b มีค่าเป็นบวก ดังนั้นค่าของ b จึงเท่ากับ 6 นั่นเอง
ทดลองทำข้อสอบ SAT พร้อมคำอธิบายเฉลย คลิก
ติวเข้มเพิ่มคะแนน SAT Math ที่ House of Griffin
นอกจากหัวข้อของระบบจำนวนจริงที่เป็นพื้นฐานของการทำโจทย์คณิตศาสตร์และข้อสอบ SAT Math ใน Part ต่าง ๆ แล้ว ยังมีหัวข้อการสอบอีกหลายหัวข้อที่ต้องทำความเข้าใจแบบเจาะลึก ดังนั้นถ้าหากใครไม่ถนัดรายวิชาคณิตศาสตร์และกำลังมองหาผู้ช่วยที่จะอธิบายให้น้อง ๆ เข้าใจเนื้อหาต่าง ๆ แบบทะลุปรุโปร่งพร้อมแชร์เทคนิคการทำโจทย์ SAT Math ให้ได้คะแนนสูง ๆ ก็ขอแนะนำให้ลงติว SAT กับพี่กริฟฟินเลย เพราะได้เรียนกับครูผู้เชี่ยวชาญโดยตรง พร้อมตอบทุกคำถามและข้อสงสัยของทุกคนด้วยความใส่ใจ แถมยังมีทีมวิชาการคอยให้คำปรึกษาระหว่างการเรียนอีกด้วย
