หลังจากที่พี่กริฟฟินพาเจาะลึกกับข้อสอบ SAT Math ในส่วนของ “พีชคณิต” กันแบบเจาะลึกทั้งใน Part 1 : สมการเชิงเส้น, Part 2 : ฟังก์ชันเชิงเส้น และ Part 3 : อสมการเชิงเส้น กันไปแบบครบถ้วนแล้ว วันนี้ก็จะพาน้อง ๆ มาดูสรุปเนื้อหาในหัวข้อ “ระบบจำนวนจริง” หรือ Number System ที่เป็นรากฐานสำคัญของการทำข้อสอบ SAT Math ในทุก ๆ หัวข้อ ทั้งในส่วนของพีชคณิต (Algebra), Advanced Math, การวิเคราะห์ข้อมูลและแก้โจทย์ปัญหา (Problem-Solving and Data Analysis) รวมทั้งเรขาคณิตและตรีโกณมิติ (Geometry and Trigonometry)
ระบบจำนวนจริง (Number System) คืออะไร ?
ระบบจำนวนจริง คือ ระบบของตัวเลขตามหลักคณิตศาสตร์ที่ประกอบไปด้วยจำนวนตรรกยะ (Rational Numbers) และจำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) ซึ่งจำนวนจริงทั้งหมดสามารถแสดงเป็นจุดต่าง ๆ บนเส้นจำนวนได้ และสามารถเขียนแผนภาพจำนวนจริงออกมาได้ ดังนี้
1. จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers)
จำนวนตรรกยะ คือ ตัวเลขจำนวนที่สามารถเขียนออกมาในรูปแบบเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ไม่เท่ากับ 0 ทั้งนี้ จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
จำนวนเต็ม (Integer)
จำนวนตัวเลขในรูปแบบต่าง ๆ ที่เราคุ้นเคยกันดี ทั้งจำนวนเต็มบวก เช่น 1, 2, 3 จำนวนเต็มศูนย์ (0) และจำนวนลบ เช่น -1, -2 เป็นต้น โดยเลข “จำนวนเต็มบวก” มีชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “จำนวนนับ” แทนด้วยสัญลักษณ์ N (Natural Number) และมีชื่อแยกย่อยออกไปตามสมบัติของแต่ละรูปแบบ เช่น จำนวนคู่ (Even Number) คือ จำนวนที่สามารถหาร 2 ได้ลงตัว, จำนวนคี่ (Odd Number) คือ จำนวนที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว, จำนวนเฉพาะ (Prime Number) คือ จำนวนนับที่มีตัวหารเป็นจำนวนเต็มบวกของตัวเลขนั้น ๆ และ 1 เท่านั้น, จำนวนประกอบ (Composite Number) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ประกอบไปด้วยเศษส่วนและทศนิยม ดังนี้
เศษส่วน (Fraction) คือ จำนวนสามารถเขียนออกมาในรูปแบบของเศษส่วนที่หาค่าออกมาได้เป็นจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำ และทศนิยมรู้จบ เช่น 11, ½, ¼, ⅖, –39 เป็นต้น
ทศนิยม (Demical) คือ ทศนิยมของจำนวนตรรกยะจะเป็นทศนิยมรู้จบ เช่น 0.25, 0.1 หรือเลขทศนิยมซ้ำ (Repeating decimal) อย่าง 0.3333 ที่เป็นทศนิยมที่ตัวเลขซ้ำกันทุกหลัก สามารถปัดเศษได้
2. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)
จำนวนอตรรกยะ คือ ตัวเลขจำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ โดยมักจะปรากฏในรูปแบบของทศนิยมไม่ซ้ำและไม่รู้จบ เช่น รากที่สองของจำนวนต่าง ๆ อย่าง √2, √3,√5 หรือค่าพาย (𝜋) เป็นต้น
สมบัติของจำนวนจริง
การจะคิดคำนวณค่าของจำนวนจริงต่าง ๆ ออกมาได้นั้น สามารถใช้สมบัติของจำนวนจริงเป็นตัวคำนวณได้ ผ่านสมบัติพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ดังนี้
สมบัติการสะท้อน (Reflexive property) คือ จำนวนจริงใด ๆ ที่จะมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ a=a
สมบัติการสมมาตร (Symmetric property) เมื่อจำนวนหนึ่งเท่ากับอีกจำนวนหนึ่งแล้วจำนวนที่สองก็เท่ากับจำนวนแรก เช่น ถ้า a=b ดังนั้นแล้ว b=a
สมบัติการถ่ายทอด (Transitive property) เมื่อจำนวนที่หนึ่งเท่ากับจำนวนที่สอง และจำนวนที่สองเท่ากับจำนวนที่สาม แปลว่าจำนวนที่หนึ่งก็จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่สามด้วย เช่น ถ้า a=b และ b=c ดังนั้นแล้ว a=c
นอกจากสมบัติที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีสมบัติการบวก การคูณ และสมบัติการแจกแจงของจำนวนจริงที่ใช้ในการคำนวณโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ดังตารางด้านล่างนี้
| สมบัติ | การบวก | การคูณ | ค่าที่ได้ |
| ปิด | a + b ϵ R | ab ϵ R | กลุ่มเดิม |
| สลับที่ | a + b = b + a | ab = ba | ค่าเท่าเดิม |
| เปลี่ยนกลุ่ม | a + (b + c) = (a + b) + c | (ab)c = a(bc) | ย้ายวงเล็บแล้วมีค่าเท่าเดิม |
| เอกลักษณ์ | 0 + a = a + 0 = a | a(1) = a = (1)a | ค่าเท่าเดิม |
| อินเวิร์ส | a + (-a) = 0 = (-a) + a | a (\(\frac{1}{a}\)) = 1 = (\(\frac{1}{a}\)) a* | ค่าเอกลักษณ์ |
| แจกแจง | เมื่อจำนวนทั้งสองข้างของสมการ นำมาคูณเข้าไปในวงเล็บแล้ว ทำให้วงเล็บนั้นหายไป ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมทำให้สมการเป็นจริงและมีค่าเท่ากัน a(b+c)= ab + ac | ||
*ยกเว้น 0 เพราะ \(\frac{1}{0}\) ไม่มีค่า
จำนวนจริงกับพหุนาม
ปกติแล้วเราจะใช้ระบบจำนวนจริงในการแก้สมการและอสมการตัวแปรเดียวเชิงเส้น (ตัวแปรไม่มีเลขชี้กำลัง) แต่เมื่อตัวแปรมีเลขชี้กำลังจะถูกเรียกว่า “พหุนาม (Polynomial)” โดยอัตโนมัติ ซึ่งทั่วไปแล้วพหุนามจะอยู่ในรูป
$$
p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots a_1x + a_0
$$
เมื่อ n เป็นดีกรีของพหุนามที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนลบและ a_n เป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์แรก
การแก้สมการพหุนามรูปทั่วไปจะสามารถทำได้โดยการแยกตัวประกอบ a_n และ a_0 โดยกำหนดค่าให้เป็น m และ k
จากนั้นหาค่า k และ m ที่ทำให้ตัวเศษ = 0 แล้วนำ x – \(\frac{k}{m}\) เพื่อไปแทนค่าตัวประกอบของ P(x) จากนั้นนำ x – \(\frac{k}{m}\) ไปหารสังเคราะห์ P(x) แล้วนำผลหารที่ได้ไปแยกตัวประกอบอีกครั้งไปเรื่อย ๆ จนสามารถแยกตัวประกอบทั้งหมดได้
การหารของพหุนามจะสามารถเขียนในรูป
P (x) = Q (x) T(x) + R(x) หรือ ตัวตั้ง = (ตัวหาร)(ผลหาร) + เศษเหลือ
*โดยที่เศษเหลือจะมีดีกรีน้อยกว่าตัวหารอยู่ 1 เสมอ
สามารถหารได้ 3 วิธี ได้แก่ หารยาว, หารสังเคราะห์ และการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
การแก้สมการพหุนาม
หากพหุนามเป็นค่ายกกำลังสอง จะเขียนรูปแบบสมการออกมาได้ว่า a$x^2$ +bx+c = 0 เมื่อ a 0 จะเขียนอยู่ในรูป
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $$
โดยที่ $ b^2 $ -4ac > 0 จะมีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการนี้ 2 คำตอบ
$ b^2 $ -4ac = 0 จะมีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการนี้ 1 คำตอบ
$ b^2 $ -4ac < 0 ไม่มีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ
การแก้อสมการพหุนาม
สำหรับการแก้อสมการพหุนามตัวแปรเดียว ก็สามารถทำได้ด้วยวิธีการคล้ายกับการแก้สมการพหุนาม ดังนี้
- จัดรูปอสมการให้ด้านหนึ่งเท่ากับ 0
- ทำสัมประสิทธิ์ข้างหน้าให้เป็น + ทุกวงเล็บ และดีกรียกกำลังเลขคี่
- หาค่าตัวแปรที่ทำให้วงเล็บนั้น ๆ เป็น 0
- นำค่าตัวแปรที่ได้มาลงในเส้นจำนวน ใส่เครื่องหมายเป็น + – + สลับกันไปมา
- ถ้าโจทย์คือ > 0 หรือ >= 0 ให้เลือกตอบช่วง + ถ้าโจทย์คือ <0 หรือ <=0 ให้เลือกตอบช่วง –
การประยุกต์ใช้ระบบจำนวนจริงในการทำข้อสอบ SAT Math
ในส่วนของการทำข้อสอบ SAT Math เราจะพบระบบจำนวนจริง (Number System) ได้ในข้อสอบทุกหัวข้อ โดยเฉพาะในหัวข้อพีชคณิต (Algebra) เกี่ยวกับ สมการเชิงเส้น และอสมการเชิงเส้น ส่วนในหัวข้อ Advanced Math ก็มักจะพบในหัวข้อสมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการ 2 ตัวแปร ดังนี้
ตัวอย่างโจทย์ Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables (สมการไม่เชิงเส้นหนึ่งตัวแปรและระบบสมการ 2 ตัวแปร)
1. (x − 1)² = −4
How many distinct real solutions does the given equation have?
- A) Exactly one
- B) Exactly two
- C) Infinitely many
- D) Zero
ข้อนี้ตอบ D เพราะจำนวนใด ๆ ที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ เมื่อยกกำลังสองจะมีค่าเป็นบวกเสมอ แต่เนื่องจากสมการด้านซ้ายติดลบ จึงไม่มีค่า x ใดที่ทำให้สมการเป็นจริงได้ ดังนั้นจำนวนจริงของสมการในข้อนี้จึงมีค่าเป็น 0 นั่นเอง
2. In the xy-plane, a line with equation 2y = 4.5 intersects a parabola at exactly one point. If the parabola has equation y = −4×2 + bx, where b is a positive constant, what is the value of b?
ข้อนี้ตอบ 6 เนื่องจากกำหนดให้เส้นตรงที่มีสมการ 2y = 4.5 เป็นจุดตัดกับพาราโบลาที่มีสมการ y = -4x² + bx โดยที่ b เป็นค่าคงที่ที่มีค่าเป็นบวกเพียงจุดเดียวบนระนาบ xy ดังนั้นระบบของสมการที่ประกอบด้วย 2y = 4.5 และ y = −4x² + bx จะมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว
เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการเส้นตรงด้วย 2 จะได้ว่า y = 2.25 จากนั้นแทนค่า y ด้วย 2.25 ในสมการพาราโบลา จะได้ว่า 2.25 = −4x² + bx จากนั้นบวกด้วย 4x² และลบ bx ออกจากทั้งสองข้างของสมการก็จะได้ 4x² – bx + 2.25 = 0 โดยยึดจากสมการกำลังสองในรูป ax² + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่
เมื่อย้ายข้างของสมการเป็น b² − 4ac มีค่าเท่ากับศูนย์ (0) จากนั้นแทนค่า a ด้วย 4 และแทนค่า c ด้วย 2.25 ในสมการ b² − 4ac จะได้ว่า b² − 4(4)(2.25) = 0 หรือ b² − 36 = 0 จากนั้นบวก 36 เข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการก็จะได้ค่า b2 = 36
จากนั้นหาค่ารากที่สองของสมการก็จะได้ว่า b = ±6 แต่เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า b มีค่าเป็นบวก ดังนั้นค่าของ b จึงเท่ากับ 6 นั่นเอง
จะเห็นได้ว่าจากโจทย์ทั้ง 2 ข้อที่ยกตัวอย่างมานี้ มีการใช้ระบบจำนวนจริงในการแก้โจทย์ SAT Math ของหัวข้อ Advanced Math โดยใช้สมบัติต่าง ๆ ของจำนวนจริงมาเป็นส่วนช่วยในการแก้โจทย์ปัญหา ดังนั้นหากน้อง ๆ มีความเข้าใจเกี่ยวกับระบบและสมบัติของจำนวนจริงก็จะช่วยให้สามารถทำข้อสอบ SAT Math ได้ไม่ยาก
ทดลองทำข้อสอบ SAT พร้อมคำอธิบายเฉลย คลิก
ติวเข้มเพิ่มคะแนน SAT Math ที่ House of Griffin
นอกจากหัวข้อของระบบจำนวนจริงที่เป็นพื้นฐานของการทำโจทย์คณิตศาสตร์และข้อสอบ SAT Math ใน Part ต่าง ๆ แล้ว ยังมีหัวข้อการสอบอีกหลายหัวข้อที่ต้องทำความเข้าใจแบบเจาะลึก ดังนั้นถ้าหากใครไม่ถนัดรายวิชาคณิตศาสตร์และกำลังมองหาผู้ช่วยที่จะอธิบายให้น้อง ๆ เข้าใจเนื้อหาต่าง ๆ แบบทะลุปรุโปร่งพร้อมแชร์เทคนิคการทำโจทย์ SAT Math ให้ได้คะแนนสูง ๆ ก็ขอแนะนำให้ลงติว SAT กับพี่กริฟฟินเลย เพราะได้เรียนกับครูผู้เชี่ยวชาญโดยตรง พร้อมตอบทุกคำถามและข้อสงสัยของทุกคนด้วยความใส่ใจ แถมยังมีทีมวิชาการคอยให้คำปรึกษาระหว่างการเรียนอีกด้วย
