หลังจากที่พี่กริฟฟินได้แนะนำเกี่ยวกับหลักการทำข้อสอบพีชคณิตของ SAT Math กันไปใน Part 1 เกี่ยวกับเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว, สมการเชิงเส้นสองตัวแปร และระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่นับว่าเป็นข้อสอบ SAT Math ที่เป็นเนื้อหาการเรียนการสอนในระดับมัธยมต้นแล้ว ในบทความนี้ก็จะมาต่อกันที่บทเรียนในระดับเทียบเท่าม.ปลายอย่างเรื่องของหลักการทำฟังก์ชันเชิงเส้นกันต่อ ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้วก็มาเริ่มกันเลย
หลักการทำฟังก์ชันเชิงเส้น
ก่อนที่จะไปถึงเรื่องของหลักการทำพี่กริฟฟินอยากจะแนะนำให้รู้จักกับ “ฟังก์ชัน” กันแบบคร่าว ๆ เสียก่อน โดย Function หรือ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ในเชิงคณิตศาสตร์ที่มี x เป็นสมาชิกในโดเมนที่ทำหน้าที่เป็น Input หรือตัวป้อนข้อมูล ที่เป็นคู่อันดับมีทั้ง “คู่อันดับแรก” ของข้อมูลซึ่งจะทำการจับคู่กับ “คู่อันดับหลัง” หรือ y (เรนจ์) ที่เป็นตัวเลขหรือตัวแปรใด ๆ ก็ตามที่อยู่หลังเครื่องหมายเท่ากับ (=) และรับหน้าที่เป็น Output หรือผลของข้อมูลที่ป้อนเข้าไป
ซึ่งความสัมพันธ์ใด ๆ จะถูกนับว่าเป็นฟังก์ชันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกภายในโดเมน (คู่อันดับแรก) มีการจับคู่กับเรนจ์ (คู่อันดับหลัง) เพียงตัวเดียวเท่านั้น หรือสรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) ∈ f จะได้ว่า y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย f(x) หรือ y = f(x) เรียก f(x) = (ค่าในเทอมของ x) ว่า “นิยามของฟังก์ชัน” นั่นเอง
ทั้งนี้ความสัมพันธ์ที่มี y ยกกำลังเป็นเลขคู่ หรือ y อยู่ในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ จะไม่นับเป็นฟังก์ชัน (เพราะเมื่อวาดกราฟแล้วจะมีเส้นตรงขนานแกน y ที่มีจุดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด)
เรามักเห็นฟังก์ชันในรูปแบบ {f (x) : x ในโดเมน} หรือ f(x) โดยที่ x คือสมาชิกในโดเมน และ f(x) คือสมาชิกในโคโดเมนที่จับคู่กับ x ส่วนเรนจ์จะเป็นค่าที่จับคู่กับสมาชิกในโดเมน สามารถเขียนได้ทั้งในรูปแบบแผนภาพ, แจกแจงสมาชิก และแบบกราฟ
ตัวอย่างฟังก์ชันในรูปแบบแผนภาพ
จากแผนภาพจะเห็นได้ว่า x หรือสมาชิกในโดเมนที่เป็นคู่อันดับแรกนั้นจะสามารถจับคู่กับ y หรือเรนจ์ที่เป็นคู่อันดับหลังได้เพียงแค่ 1 ตัวเท่านั้น ส่วนเรนจ์จะสามารถจับคู่กับ x ได้มากกว่า 1 ตัว
ซึ่งจากแผนภาพข้างต้นก็สามารถเขียนแจกแจงได้ ดังนี้
f = {(1,d), (2,d), (3,c)}
ทั้งนี้ฟังก์ชันก็มีด้วยกันอยู่หลากหลายรูปแบบ ทั้งฟังก์ชันคงตัว, ฟังก์ชันกำลังสอง, ฟังก์ชันขั้นบันได, ฟังก์ชันผกผัน, ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์, ฟังก์ชันพหุนาม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และอื่น ๆ อีกมากมาย แต่ฟังก์ชันที่อยากจะยกมาพูดถึงกันในวันนี้ก็ได้แก่ “ฟังก์ชันเชิงเส้น” ที่จะพบในข้อสอบพีชคณิตของ SAT Math นั่นเอง
Linear Function หรือฟังก์ชันเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างคู่อันดับแรก (โดเมน) และคู่อันดับหลัง (เรนจ์) แบบเส้นตรงในระนาบพิกัดที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่ ซึ่งเมื่อทำการถอดสมการออกมาและนำมาพลอตกราฟก็จะได้เป็นกราฟในลักษณะเส้นตรงที่มีทั้งความชันและจุดตัดแกน ซึ่งจะสามารถเขียนรูปแบบสมการออกมาได้ ดังนี้
f(x) = ax + b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง
นอกจากนี้ เราอาจเห็นการเขียนสมการเชิงเส้นในรูปแบบ f(x) = mx+b หรือ y = mx+b
โดยที่ x คือ โดเมน (คู่อันดับแรก) หรือค่า Input บนแกนนอน
f(x) หรือ y คือ เรนจ์ (คู่อันดับหลัง) หรือค่า Output บนแกนตั้ง
a หรือ m: คือ ความชัน (Slope) ของเส้นตรง ที่บ่งบอกถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เมื่อเทียบกับ x โดยหากความชันมีค่าเป็นบวก (มากกว่า 0) กราฟจะเอียงขึ้นเรียกว่า “ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น” แต่หากความชันมีค่าติดลบ (น้อยกว่า 0) กราฟจะเอียงลงเรียกว่า “ฟังก์ชันลดลง” หรือหากความชันมีค่า = 0 กราฟจะเป็นเส้นตรงธรรมดา ๆ ที่ไม่เอียงไปด้านใดด้านหนึ่งเรียกว่า “ฟังก์ชันคงที่”
ทั้งนี้ค่าความชัน (m) จะสามารถคำนวณได้จากจุดสองจุด (x1,y1) และ (x2,y2) บนเส้นตรง โดยใช้สูตร: m = (y2-y1)/(x2-x1)
b คือ จุดตัดแกน y หรือ y-intercept โดยจะเป็นค่าของ y เมื่อ x = 0
จุดสังเกตของฟังก์ชันเชิงเส้น
- กราฟจะเป็นลักษณะเส้นตรงเท่านั้น โดยอาจเฉียงขึ้น/ลง หรือขีดเป็นเส้นตรงก็ได้ แต่จะไม่มีความโค้งมนของเส้นบนกราฟ
- อัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่ โดยค่าของ x และ y จะมีการปรับเปลี่ยนในอัตราส่วนที่เท่ากันเสมอตามความชัน (m) ของกราฟ
- ภายในสมการจะมีเลขชี้กำลังเป็น 1 เสมอ จะไม่ปรากฏค่าของ x และ y ในรูปของกำลังสอง, รากที่สอง หรือการคูณกันของ xy
วิธีคิดคำตอบของฟังก์ชันเชิงเส้น
วิธีการคิดคำตอบของฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถทำได้โดย “แทนค่าตัวแปร” ลงในสมการ โดยวิธีการคำนวณจะขึ้นอยู่กับ “ข้อมูล” ที่โจทย์กำหนดและระบุมาให้ โดยหากทราบค่า x ก็จะสามารถหาค่า y หรือ f(x) ได้ ในทางกลับกัน หากโจทย์ระบุค่าของ y หรือ f(x) มา ก็จะทำให้เราสามารถแทนค่าและคำนวณหาค่า x ได้นั่นเอง ในที่นี้จะขอใช้สูตร f(x) = mx+b หรือ y = mx+b โดยที่ m แทนความชัน และ b แทนจุดตัดแกน y ซึ่งการจะคำนวณได้นั้นจะต้องทำการจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นก่อนเสมอ โดยหากทราบความชัน (m) และจุดตัดแกน y (ค่า b) ก็จะสามารถแทนค่าในสูตร y = mx+b และคำนวณออกมาได้ในทันที แต่หากโจทย์มีการระบุข้อมูลที่ต่างกันออกไป จะสามารถจัดรูปแบบสมการได้ ดังนี้
การจัดรูปแบบสมการ
หากทราบความชัน (m) และจุดหนึ่งจุด (x1, y1) ให้ปรับสมการจากรูป Point-Slope Form หรือ y−y1 = m(x−x1) และจัดรูปให้อยู่ใน y = mx+b แล้วจึงคำนวณค่าตามที่โจทย์กำหนด
หากทราบจุดสองจุด ทั้ง (x1, y1) และ (x2, y2) ให้คำนวณหาค่าความชัน
จากนั้นนำเอาค่าความชันที่ได้และจุดที่กำหนด (เช่น (x1,y1)) ไปใส่ในสมการรูป Point-Slope Form หรือ y−y1 = mx−x1 แล้วจัดรูปใหม่เป็น y = mx-x1+y1 ก็จะอยู่ในรูป y = mx+b จากนั้นแทนค่าลงในสูตรคำนวณคำตอบ
วิธีที่ 1 : เมื่อทราบค่าของ x และต้องการหาค่า y หรือ f(x) ให้แทนค่า x ลงในสมการที่กำหนด และคำนวณหาค่า y
ตัวอย่าง y = 2x+5 (เมื่อ x = 3)
สามารถเขียนสมการใหม่ได้ว่า y = 2(3)+5 เมื่อนำตัวเลขมาคูณกันจะได้ y = 6+5 หรือ y = 11
คำตอบของสมการนี้สามารถเขียนออกมาเป็นคู่ลำดับได้ว่า (3, 11)
วิธีที่ 2 : เมื่อทราบค่าของ y หรือ f(x) และต้องการหาค่า x ให้แทนค่า y ลงในสมการที่กำหนด และคำนวณหาค่า x
ตัวอย่าง y = 2x+5 (เมื่อ y = 15)
สามารถเขียนสมการใหม่ได้ว่า 15 = 2x+5 จากนั้นทำการย้ายค่าคงที่ไปอีกข้างหนึ่งของสมการ (ใช้ทักษะเดียวกับหลักการแก้สมการเชิงเส้น 1 ตัวแปรในบทความที่แล้ว)
เขียนรูปสมการใหม่ได้เป็น 15-5 = 2x หรือ 10 = 2x จากนั้นนำ 2 (ค่าสัมประสิทธิ์ของ x) มาหารทั้ง 2 ข้างของสมการเพื่อคำนวณหาค่า x จะได้คำตอบว่า x = 5
โจทย์ข้อนี้จะสามารถเขียนคำตอบเป็นคู่ลำดับได้ว่า (5, 15)
ตัวอย่างข้อสอบพีชคณิตในหัวข้อฟังก์ชันเชิงเส้น
โจทย์ในหัวข้อฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีข้อคำถามเฉลี่ยอยู่ที่ราว 2-3 ข้อใน 1 Module (ชุดข้อสอบ) โดยสามารถสังเกตข้อคำถามประเภทนี้ได้จากคำว่า Function หรือสัญลักษณ์ f(x) ที่ไม่มีตัวเลขยกกำลัง และโจทย์ที่เป็นกราฟเส้นตรง แต่บางครั้งก็อาจมีโจทย์ในรูปแบบตารางด้วย ตัวอย่างคำถาม เช่น
โจทย์ข้อ 1 : If f(x) = x + 7 and g(x) = 7x, what is the value of 4f(2) − g(2)?
- A) −5
- B) 1
- C) 22
- D) 28
ข้อนี้ตอบ C เพราะ เมื่อแทนค่า x ด้วย 2 จะสามารถเขียนสมการออกมาใหม่ได้ว่า f (2) = 2 + 7 หรือ f (2) = 9 จากนั้นเขียนสมการหาค่า g ด้วยการแทนค่า x เป็น g(2) = 7(2) หรือ g(2) = 14 และเมื่อแทนค่าของ f และ g ลงในสมการที่โจทย์กำหนด (4f(2) – g(2)) ก็จะเขียนสมการขึ้นใหม่ได้ว่า 4(9) – 14 หรือ 36 – 14 = 22 นั่นเอง
โจทย์ข้อ 2 :
The table shows three values of x and their corresponding values of y. There is a linear relationship between x and y. Which of the following equations represents this relationship?
- A) y = 18x + 3
- B) y = 18x + 18
- C) y = -5x + 13
- D) y = -5x + 18
ข้อนี้ตอบ D เพราะ โจทย์กำหนดค่าของจุดสองจุด (x, y) มาในตารางเป็นที่เรียบร้อย เมื่อนำข้อมูลที่โจทย์ระบุมาเขียนลงในสมการ จะสามารถหาความชันได้โดยแทนค่าลงในสูตรดังนี้
หรือค่าความชันเท่ากับ -5 เมื่อนำเอาค่าความชันที่ได้และจุดที่กำหนด (0, 18) ไปใส่ในสมการรูป Point-Slope Form (y−18 = -5x−0) แล้วจัดรูปใหม่เป็น y = mx+b ก็จะได้เป็น y = -5x + 18
นอกจากนี้ยังสามารถหาค่าได้จากการแทนค่า x และ y ลงในสมการ y = mx+b จะได้ว่า 18 = m(0)+b หรือ b = 18 ซึ่งค่า b นั้นเป็นค่าคงตัว ทำให้เมื่อแทนค่าตัวแปรอื่น ๆ ลงในสมการก็จะได้ว่า 13 = m(1)+18 หรือ 13 = m +18 จากนั้นนำเอา 18 ลบทั้ง 2 ข้างของสมการ ก็จะได้คำตอบว่า -5 = m และสามารถเขียนรูปแบบสมการขึ้นมาได้ว่า y = -5x + 18
โจทย์ข้อ 3 : f(x) = 45x + 600
The function f gives the monthly fee f(x), in dollars, a facility charges to keep x crates in storage. What is the monthly fee, in dollars, the facility charges to keep 50 crates in storage?
ข้อนี้ตอบ 2,850 เพราะสมการในโจทย์แทนค่าธรรมเนียมรายเดือน (หน่วยเป็นดอลลาร์) เพื่อจัดเก็บลัง x ใบไว้ในคลังสินค้า ซึ่งเมื่อกำหนดให้จำนวนลังเป็น 50 ก็สามารถนำเอาตัวเลข 50 ไปแทนค่า x ได้ และเขียนสมการใหม่ออกมาได้ ดังนี้ f(50) = 45(50) + 600 หรือ f(50) = 2250+600 เมื่อนำค่ามาบวกกันจะได้ว่า f(50) = 2850 หรือค่าธรรมเนียมการจัดเก็บลังจำนวน 50 ใบในโกดังสินค้าอยู่ที่ 2,850 ดอลลาร์นั่นเอง
ข้อนี้ตอบ C เพราะโจทย์ถามหาจุดตัดแกน y ซึ่งเมื่อดูจากกราฟที่กำหนดมาแล้วจะอยู่ตรงกลางระหว่าง 4 และ 6 พอดี ในขณะที่จุดตัดแกน x เป็น 0 จึงสามารถเขียนในรูปคู่อันดับได้ว่า (0, 5)
เป็นยังไงกันบ้างกับข้อสอบพีชคณิตใน SAT Math ที่พี่กริฟฟินยกตัวอย่างข้อสอบของแต่ละหัวข้อย่อยของมาอธิบายทีละจุดในหัวข้อของฟังก์ชันเชิงเส้น จะเห็นได้ว่าตัวอย่างข้อสอบที่หยิบมานั้นจะมีการคละความยาก-ง่ายของข้อสอบควบคู่กันไป ซึ่งก็จะเหมือนกับในตัวข้อสอบจริงที่น้อง ๆ จะได้เจอกันเลย เพราะใน Module ที่ 1 ก็จะมีการคละความยากของข้อสอบในระดับประมาณนี้ และเมื่อสอบจนจบชุดแรก หลังจากที่ระบบคำนวณคะแนนคร่าว ๆ ออกมาก็จะทำการจัดชุดข้อสอบใหม่ตามคะแนนที่น้อง ๆ ทำได้ ซึ่งความยาก-ง่ายของข้อสอบใน Module 2 ก็จะขึ้นอยู่กับคะแนนที่ทำได้ในข้อสอบชุดแรก หากทำได้เยอะก็จะได้ข้อสอบยากและมีโอกาสได้คะแนน SAT Math สูง ๆ แต่หากทำได้น้อยก็จะได้ชุดข้อสอบแบบง่ายที่ช่วยเพิ่มโอกาสการทำข้อสอบได้มากขึ้น แต่จะเสียโอกาสในการได้คะแนนเต็มไปได้
ลงติว SAT Math เพิ่มความมั่นใจก่อนลงสนามจริง
ถ้าน้องคนไหนลองทำข้อสอบตามแล้วพบว่ายัง ทำพลาด จนตอบผิดอยู่หลายข้อ หรือรู้สึกไม่ถนัดข้อสอบพีชคณิตและกังวลว่าอาจทำให้คะแนนน้อย หรือหากต้องการที่ปรึกษาที่วางใจได้และสามารถให้คำแนะนำเรื่องการทำข้อสอบได้อย่างตรงจุดก็ทักมาหาทีมงาน House of Griffin กันได้ โดยนอกจากจะมี คอร์ส SAT Math ที่สอนโดยครูผู้เชี่ยวชาญแล้ว ยังมีทีมวิชาการคอยวิเคราะห์จุดอ่อน-จุดแข็งของน้อง ๆ เป็นรายบุคคล เพื่อให้น้องทุกคนสามารถพิชิตข้อสอบ SAT Math ได้แบบผ่านฉลุย พร้อมเอาคะแนนไปยื่นเข้าคณะในฝันกันได้ตั้งแต่สอบครั้งแรก การันตีด้วยคะแนนสอบของนักเรียนรุ่นก่อน ๆ ได้เลย