พี่กริฟฟินได้อธิบายหลักการทำข้อสอบพีชคณิตของ SAT Math กันไปใน Part 1 เรื่องสมการเชิงเส้นและ Part 2 เรื่องฟังก์ชันเชิงเส้นไปแล้ว คราวนี้ก็ถึงคิวของเรื่องเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นกันบ้าง โดยในบทความนี้ก็จะมาพูดถึงหลักการทำอสมการแบบ 1 ตัวแปร และ 2 ตัวแปร รวมถึงวิธีแก้โจทย์พร้อมตัวอย่างมาให้น้อง ๆ ได้ลองเริ่มทำความเข้าใจและฝึกกันตั้งแต่ตอนนี้
หลักการทำอสมการเชิงเส้นหนึ่งหรือสองตัวแปร
หลาย ๆ คนอาจคุ้นเคยกับคำว่า “สมการ” หรือ Equations กันเป็นอย่างดี เพราะสูตรทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่แล้วก็นับว่าเป็นสมการเกือบทั้งหมด แต่นอกเหนือไปจาก “สมการ” ที่แสดงถึงค่าความเท่ากันของตัวเลขแล้ว ยังมี “อสมการ” หรือ Inequalities อีกด้วย โดยที่ อสมการ คือ สูตรทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความ “ไม่เท่ากัน” ของตัวเลข ดังนั้นแล้วในโจทย์จึงจะไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ (=) แต่จะใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ แทน เช่น มากกว่า (>) น้อยกว่า (<) มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) น้อยหรือเท่ากับ (≤) และไม่เท่ากับ (≠) นั่นเอง
โดยในการสอบ SAT Math นั้นจะมีข้อคำถามในหัวข้อ Linear inequalities in 1 or 2 variables หรืออสมการเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปรอยู่ด้วย ทั้งนี้อสมการแบบเชิงเส้น 1 ตัวแปร บางครั้งอาจเรียกว่า “อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว” แต่เนื่องจากในตัวข้อสอบในหัวข้อนี้จะมีการจัดกลุ่มคำถามรวมกับอสมการแบบเชิงเส้นสองตัวแปร จึงขอเรียกแบบรวม ๆ ว่า อสมการแบบเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปรเพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น
ซึ่งพี่กริฟฟินเลยจะขออธิบายแบบคร่าว ๆ ว่า อสมการเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปร คือ โจทย์ทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะคล้ายคลึงกันกับสมการเชิงเส้น 1 และ 2 ตัวแปรที่ได้อธิบายไปในบทความก่อนหน้านี้ เพียงแต่จะมีการเปลี่ยนจากเครื่องหมายเท่ากับ (=) เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์รูปแบบอื่น ๆ แทน ซึ่งสำหรับอสมการแบบเชิงเส้น 1 ตัวแปร ก็จะมีตัวแปรเพียงแค่ 1 ตัวเท่านั้น (ส่วนมากมักใช้ x แทนตัวแปรไม่ทราบค่า) ส่วนอสมการแบบเชิงเส้น 2 ตัวแปร ก็จะมีตัวแปรไม่ทราบค่าทั้งหมด 2 ตัวแปร (มักแทนด้วย x, y) และอสมการทั้ง 2 รูปแบบนี้จะมีเลขชี้กำลังเป็น 1 เสมอ โดยจะสามารถนำคำตอบของอสมการมาพลอตลงกราฟได้เป็นกราฟเส้นตรงเท่านั้น
จุดสังเกตโจทย์อสมการเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปร
1. ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เช่น มากกว่า (>), น้อยกว่า (<), มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) และน้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) แทนเครื่องหมายเท่ากับ (=) แต่จะไม่ค่อยพบโจทย์ที่ใช้เครื่องหมายไม่เท่ากับ (≠)
2. มีเลขชี้กำลังเป็น 1 เท่านั้น จะไม่พบในรูปแบบที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1 หรือรากที่สอง
3. กราฟเป็นลักษณะเส้นตรงเท่านั้น โดยอสมการแบบเชิงเส้น 1 ตัวแปรจะเป็นกราฟแนวนอนบนแกน x ส่วนอสมการแบบเชิงเส้น 2 ตัวแปรจะเป็นกราฟที่มีจุดตัดทั้งบนแกน x (แนวนอน) และแกน y (แนวตั้ง) โดยจะมีความชัน (m) ของเส้นด้วย
4. คำตอบของอสมการจะมีอยู่ 3 ลักษณะ ได้แก่ มีจำนวนจริงบางจำนวนเป็นคำตอบ, มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ และไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ ซึ่งหากลองแทนค่าลงไปแล้วอสมการเป็นจริง ก็จะถือว่าจำนวนจริงนั้นเป็นคำตอบของอสมการที่ถูกต้องนั่นเอง
วิธีการแก้โจทย์อสมการเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปร
การแก้อสมการแบบเชิงเส้นทั้ง 1 และ 2 ตัวแปร สามารถทำได้ด้วยวิธีคล้ายคลึงกับการแก้สมการแต่จะเปลี่ยนวิธีการคิดเล็กน้อย คือ เปลี่ยนจากสมบัติการเท่ากัน เป็น “สมบัติการไม่เท่ากัน” ต่าง ๆ ของอสมการมาพิจารณาและทำการหาค่าตัวแปร โดยหากเป็นข้อสอบที่มีตัวเลือกก็สามารถลัดขั้นตอนโดยการเอาตัวเลือกในข้อต่าง ๆ ลงไปแทนค่าในอสมการได้เลย หากอสมการเป็นจริงก็จะถือว่าข้อนั้นเป็นคำตอบของโจทย์ แต่หากเป็นข้อสอบที่จำเป็นต้องระบุคำตอบ ก็สามารถแก้อสมการได้ ดังนี้
1. การแก้อสมการแบบเชิงเส้น 1 ตัวแปร สามารถทำได้ด้วยทำให้ข้างใดข้างหนึ่งของสมการมีเฉพาะตัวแปรเพียงอย่างเดียว โดยนำเอาสมบัติของการไม่เท่ากันในรูปแบบต่าง ๆ (บวก, ลบ, คูณ, หาร) และการย้ายข้างอสมการมาใช้ในการคำนวณได้ เช่น
โจทย์กำหนดมาว่า 2(x – 5) > 60 สามารถหาค่าของสมการได้ด้วยการคูณ 2 เข้าไปในวงเล็บ จากนั้นนำเอาคุณสมบัติของการบวกและหารมาใช้หาค่าของสมการได้ ดังนี้
2(x – 5) > 60 เมื่อคูณ 2 เข้าไปในวงเล็บ จะได้ว่า 2x -10 > 60 จากนั้นใช้การบวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้ว่า
2x – 10 + 10 > 60 + 10
2x > 70 จากนั้นใช้การหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้ว่า \(\frac{2x}{2} > \frac{70}{2}\)
(นำ 2 หารทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ตัวเลขหายไป เหลือแต่ตัวแปรเท่านั้น)
ได้คำตอบ x > 35 นั่นเอง
2. การแก้อสมการแบบเชิงเส้น 2 ตัวแปร
สามารถถอดสมการได้ด้วยการแทนค่าใดค่าหนึ่งของตัวแปรเป็น 0 เพื่อใช้แทนจุดตัดแกนเพื่อเริ่มถอดอสมการ เช่น (x, 0) หรือ (0, y) เมื่อได้คำตอบแล้วให้นำเอาค่าของตัวแปรนั้นมาใช้แทนลงในอสมการแล้วหาค่าของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง เช่น
x + 3y ≥ 15 (ลองแทนค่า x เป็น 0) จะได้ว่า
0 + 3y ≥ 15 หรือ 3y ≥ 15 จากนั้นหารทั้งสองข้างของอสมการ จะได้ว่า \(\frac{3y}{3} \geq \frac{15}{3} \; \text{หรือ} \; y \geq 5\)
จากนั้นนำเอาค่า y ที่หาได้มาแทนลงในอสมการเพื่อหาค่า x อีกครั้งก็จะได้ว่า
x + 3y ≥ 15 เมื่อแทนค่า y ลงไปก็จะกลายเป็น x+ 3(5) ≥ 15
x +15 ≥ 15 จากนั้นย้ายข้างอสมการเพื่อให้เหลือเพียงแค่ตัวแปร (สามารถใช้การลบทั้งสองข้างของสมการได้เช่นกัน)
x ≥ 15 – 15 หรือ x ≥ 0 นั่นเอง
เมื่อนำอสมการมาพลอตกราฟ จะได้รูปแบบดังนี้
ตัวอย่างข้อสอบพีชคณิตในหัวข้ออสมการเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปร
1. During a portion of a flight, a small airplane’s cruising speed varied between 150 miles per hour and 170 miles per hour. Which inequality best represents this situation, where s is the cruising speed, in miles per hour, during this portion of the flight?
- A) s ≤ 20
- B) s ≤ 150
- C) s ≤ 170
- D) 150 ≤ s ≤ 170
ข้อนี้ตอบ D เพราะโจทย์ระบุว่าช่วงหนึ่งของเที่ยวบิน ความเร็วของเครื่องบินจะแปรผันอยู่ระหว่าง 150 – 170 ไมล์ต่อชั่วโมง โดยกำหนดให้ s แทนความเร็วของการเดินทางไมล์ต่อชั่วโมง ซึ่งข้อ D ก็เป็นอสมการที่ถูกต้องในข้อนี้นั่นเอง (อสมการของข้อนี้แทนตัวแปรเป็นค่า s)
2. y < −4x + 4
Which point (x, y) is a solution to the given inequality in the xy-plane?
- A) (2, −1)
- B) (2, 1)
- C) (0, 5)
- D) (−4, 0)
ข้อนี้ตอบ D เพราะโจทย์ระบุว่าอสมการนี้มีค่าพิกัด y น้อยกว่าค่า −4x + 4 ซึ่งในตัวเลือกคำตอบก็มีเฉพาะจุด (−4, 0) เท่านั้นที่ทำให้อสมการเป็นจริงได้ เนื่องจาก 0 < −4(−4) + 4 หรือ 0 < 20 นั่นเอง
3. The point (8, 2) in the xy-plane is a solution to which of the following systems of inequalities?
- A) x > 0, y > 0
- B) x > 0, y < 0
- C) x < 0, y > 0
- D) x < 0, y < 0
ข้อนี้ตอบ A เพราะโจทย์ระบุคู่อันดับ x, y มาให้ว่า x = 8 และ y = 2 ซึ่งตัวเลขของทั้งคู่นั้น “มากกว่า” 0 ทั้งคู่ จึงสามารถสรุปได้ว่า x > 0 และ y > 0 นั่นเอง
ข้อนี้ตอบ D เพราะในตารางประกอบไปด้วยเลข 440, 441 และ 442 ซึ่งสามารถนำเอาตัวเลขในตารางไปแทนค่าในอสมการเพื่อหาคำตอบได้ เมื่อกำหนดให้ค่า x เป็น 440 จะเขียนอสมการออกมาได้ว่า 2(440) – y > 883 หรือ 880 – y > 883 เมื่อนำเอาตัวเลข 880 ลบออกจากทั้งสองข้างของอสมการ จะได้ว่า -y > 3 จากนั้นหารทั้งสองข้างของอสมการด้วย -1 เพื่อให้ค่า y ไม่ติดลบ ก็จะได้ว่า y < -3 ซึ่งเมื่อกำหนดให้ค่า x = 440 y จะมีค่าน้อยกว่า -3 ทำให้ข้อ D ถูกต้อง เพราะ -4 มีค่าน้อยกว่า -3 อีกทั้งเมื่อลองแทนค่าอื่น ๆ ลงในอสมการ ก็ทำให้อสมการนี้เป็นจริงทุกประการด้วยเช่นกัน
เป็นยังไงกันบ้างกับข้อสอบพีชคณิต ใน SAT Math ที่พี่กริฟฟินยกตัวอย่างข้อสอบของแต่ละหัวข้อย่อยของมาอธิบายทีละจุด ทั้งในหัวข้อของสมการเชิงเส้น 1 ตัวแปร, 2 ตัวแปร, ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร, ฟังก์ชันเชิงเส้น และอสมการเชิงเส้น 1 หรือ 2 ตัวแปร จะเห็นได้ว่าตัวอย่างข้อสอบที่หยิบมานั้นจะมีการคละความยาก-ง่ายของข้อสอบควบคู่กันไป ซึ่งก็จะเหมือนกับในตัวข้อสอบจริงที่น้อง ๆ จะได้เจอกันเลย เพราะใน Module ที่ 1 ก็จะมีการคละความยากของข้อสอบในระดับประมาณนี้ และเมื่อสอบจนจบชุดแรก หลังจากที่ระบบคำนวณคะแนนคร่าว ๆ ออกมาก็จะทำการจัดชุดข้อสอบใหม่ตามคะแนนที่น้อง ๆ ทำได้ ซึ่งความยาก-ง่ายของข้อสอบใน Module 2 ก็จะขึ้นอยู่กับคะแนนที่ทำได้ในข้อสอบชุดแรก หากทำได้เยอะก็จะได้ข้อสอบยากและมีโอกาสได้คะแนน SAT Math สูง ๆ แต่หากทำได้น้อยก็จะได้ชุดข้อสอบแบบง่ายที่ช่วยเพิ่มโอกาสการทำข้อสอบได้มากขึ้น แต่จะเสียโอกาสในการได้คะแนนเต็มไปได้
ครบเครื่องทุกเรื่องพีชคณิตที่ House of Griffin พร้อมก้าวสู่เป้าหมายอย่างมั่นใจไปพร้อมกัน
หลังจากที่พี่กริฟฟินได้พาน้อง ๆ เจาะลึกเรื่องอสมการเชิงเส้น 1 และ 2 ตัวแปรกันไปแล้ว และยิ่งใครที่อ่านมาจบครบ 3 บทความรวมถึงบทความนี้แล้วละก็ เรียกได้ว่าเป็นการเดินทางสำรวจโลกพีชคณิตใน SAT Math ตั้งแต่สมการเชิงเส้นและฟังก์ชันเชิงเส้น น้อง ๆ คงได้เห็นแล้วว่าแต่ละหัวข้อมีความเชื่อมโยงกันและต่างก็เป็นรากฐานสำคัญที่จะช่วยให้ทำคะแนนได้ดีในส่วนของพีชคณิต หากใครยังรู้สึกว่าตัวเองต้องการพัฒนาเพิ่มเติม หรืออยากมีความมั่นใจในการลงสนามสอบจริง ไม่ต้องลังเลที่ House of Griffin นอกจากทุกคนจะได้เรียนกับครูผู้เชี่ยวชาญและเลือกคอร์ส SAT Math ที่มีมากมายแล้ว ยังมีระบบติดตามผลการเรียนแบบเป็นส่วนตัว วิเคราะห์จุดอ่อน-จุดแข็ง และมีเทคนิคเฉพาะที่จะช่วยให้น้องไปถึงเป้าหมายคะแนนในฝันได้อย่างแน่นอน
